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Soluzioni di equazioni differenziali ordinarie: cinetica chimica

\n" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "ein.tags": "worksheet-0", "slideshow": { "slide_type": "-" } }, "source": [ "Le equazioni differenziali ordinarie, ode, sono equazioni differenziali nella forma $y'(t)=f(y, t)$.\n", "Molti fenomeni chimici e fisici ubbidiscono ad equazioni di questo tipo, fra questi le equazioni della\n", "cinetica chimica.\n", "\n", "Nella cinetica chimica, tipicamente y(t) è il vettore delle concentrazioni di tutte le sostanze coinvolte nella reazione.\n", "\n", "Ma anche l'equazione dell'oscillazione armonica è una ODE:\n", "\n", "$$y''=-ky$$\n", "\n", "$$\n", "\\begin{pmatrix}\n", "y \\\\ y'\n", "\\end{pmatrix} ^\\prime = \n", "\\begin{pmatrix}\n", "y' \\\\\n", "- k y\n", "\\end{pmatrix}\n", "$$\n", "\n", "e come vedremo, con la stessa tecnica, anche l'equazione di Schrödinger è una ODE" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": {}, "source": [ "Ci sono diverse librerie per la soluzione di ODE, il nostro punto d'ingresso sarà la funzione\n", "`scipy.odeint`:\n", "\n", "`odeint(t, ...)`,\n", "\n", "di quali parametri avrà bisogno?" ] }, { "cell_type": "markdown", "metadata": { "ein.tags": "worksheet-0", "slideshow": { "slide_type": "-" } }, "source": [ "Per scaldare i muscoli consideriamo una reazione\n", "\n", "A + B <=> C,\n", "\n", "che soddisfi la seguente legge cinetica:\n", "\n", "$v= -a' = -b' = c' = k_d a b - k_i c$, con\n", "\n", "a=[A], b=[B] e c=[C].\n", "\n", "Qualunque sia il metodo che usiamo per risolvere le nostre equazioni differenziali, avrà bisogno\n", "delle seguenti informazioni:\n", "\n", "$[a', b', c'] = f([a, b, c], t)$; le equazioni della cinetica chimica però in genere non dipendono esplicitamente dal tempo;\n", "\n", "$[a, b, c]_{t=0}$; le condizioni iniziali\n", "\n", "$[t_i]_{i=0,n}$; i tempi a cui si vogliono avere le soluzioni.\n", "\n", "Cominciamo con il definire la funzione $f$ per la nostra cinetica chimica, dobbiamo codificare\n", "un vettore delle concentrazioni, per esempio:\n", "y=[a, b, c]" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 1, "metadata": { "autoscroll": false, "ein.hycell": false, "ein.tags": "worksheet-0", "jupyter": { "outputs_hidden": false }, "slideshow": { "slide_type": "-" }, "tags": [] }, "outputs": [], "source": [ "import numpy as np\n", "import scipy.integrate as ntg\n", "import matplotlib.pyplot as plt\n", "from ipywidgets import interact, interact_manual\n", "import ipywidgets as wi" ] }, { "cell_type": "code", "execution_count": 2, "metadata": { "autoscroll": false, "ein.hycell": false, "ein.tags": "worksheet-0", "jupyter": { "outputs_hidden": false }, "slideshow": { "slide_type": "-" }, "tags": [] }, "outputs": [], "source": [ "def cinetica(y, t, k_d, k_i):\n", " q=k_d*y[0]*y[1]-k_i*y[2] # q=k_d*a*b - 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