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\newcommand{\expt}[2] {e^{#2 i\frac{\epsilon_#1 t}\hbar}}
\newcommand{\exptd}[3] {e^{#3 i\frac{(\epsilon_#1-\epsilon_#2) t}\hbar}}

\title{Esercizio: calcolare il commutatore fra $s_z$ e $s_x$}
\author{\calligra Fulvio Ciriaco}
\subject{}
\begin{document}
  \pgfdeclareimage[width=1.5cm]{logo}{uniba.png}
  \logo{\pgfuseimage{logo}}
  % \begin{frame}{\titlepage}
  % \tableofcontents
  % \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{calcolare il commutatore tra $s_z$ e $s_x$}
    Ci sono diversi modi, tra cui passare attraverso la rappresentazione matriciale.
    Qui vediamo come risolvere il problema a partire dagli autostati di $s_z$ e delle
    relazioni che abbiamo già stabilito:
    \begin{align*}
      s_z\alpha&=\frac \hbar 2 \alpha\\
      s_z\beta &=-\frac \hbar 2 \beta\\
      s_x \alpha &= \frac \hbar 2 \beta \\
      s_x \beta &=  \frac \hbar 2 \alpha
    \end{align*}

    In meccanica quantistica si usano spesso le unità atomiche, in cui scalando le unità si
    possono elidere (uguagliare a 1) $\hbar$, la carica dell'elettrone, la massa dell'elettrone,
    e l'hartree, una unità energetica pari a 2 volte l'energia dell'atomo di idrogeno.

  \end{frame}
  \begin{frame}
  Vogliamo calcolare $[s_z, s_x]$:
    \begin{align*}
      s_z s_x \alpha&= s_z \frac \hbar 2 \beta = -\frac {\hbar^2} 4 \beta &
      s_x s_z \alpha&= s_x \frac \hbar 2 \alpha = \frac {\hbar^2} 4 \beta\\
      [s_z,s_x]\alpha&=-\frac {\hbar^2} 2 \beta\\
      s_z s_x \beta&= s_z \frac \hbar 2 \alpha = \frac {\hbar^2} 4 \alpha &
      s_x s_z \beta&= -s_x\frac \hbar 2 \beta = -\frac {\hbar^2} 4 \alpha\\
      [s_z,s_x]\beta&=\frac {\hbar^2} 2 \alpha
    \end{align*}
    confrontandole con le relazioni:
    \begin{align*}
      s_y \alpha &=i \frac \hbar 2 \beta\\ 
      s_y \beta &=-i \frac \hbar 2 \alpha\\
    \end{align*}
    possiamo notare che
    \begin{equation*}
      [s_z, s_x]=i\hbar s_y
    \end{equation*}
  \end{frame}
  \begin{frame}
    ovviamente allo stesso modo valgono le relazioni che si ottengono permutando
    ciclicamente gli assi $x,y,z$ e che potete ottenere allo stesso modo:
    \begin{align*}
      [s_z, s_x]&=i\hbar s_y \\
      [s_x, s_y]&=i\hbar s_z \\
      [s_y, s_z]&=i\hbar s_x \\
    \end{align*}      
  \end{frame}    
\end{document}