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\title{Introduzione alla meccanica quantistica, l2}
\author{\calligra Fulvio Ciriaco}
\subject{}
\begin{document}
  \pgfdeclareimage[width=1.5cm]{logo}{uniba.png}
  \logo{\pgfuseimage{logo}}
  \begin{frame}{\titlepage}
  \tableofcontents
  \end{frame}
  \begin{frame} %[fragile]
    \frametitle{La scelta è nostra}
    Gli stati quantistici costituiscono uno spazio lineare,
    dati gli stati $\psi_i$ del sistema ogni loro combinazione lineare $\sum c_i \psi_i$ è pure
    uno stato possibile. Per fortuna è molto facile trovare o creare spazi lineari in matematica.

    La scelta è nostra, ma tutto è più facile se disponiamo di un prodotto scalare.
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{Lo spazio dei vettori $C^N$}
    Gli spazi $R^N$ e $C^N$ sono spazi lineari con le consuete operazioni di combinazione
    lineare e prodotto scalare.

    Perchè la meccanica quantistica è contagiata dai numeri complessi?

    \begin{equation*}
      m \ddot x = - k x
    \end{equation*}
    \begin{align*}
      (v \cdot u ) &=& \sum_i v^*_i u_i &=& (u \cdot v)^*  \\
      [a_1,a_2]\cdot [b_1, b_2]& = a^*_1 b_1+a^*_2 b_2
    \end{align*}
    
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{Lo spazio delle funzioni L2}
    Le funzioni continue $f(x)$ costituiscono uno spazio lineare. 
    Una funzione appartiene allo spazio L2 se è possibile calcolare
    \begin{equation*}
      \int_? f^*(x) f(x) dx;
    \end{equation*}
    perchè ho messo un $?$ al posto degli estremi di integrazione?

    Qualunque cosa sia $x$, il significato comune di queste funzioni d'onda passa attraverso
    \begin{equation*}
      \frac{\vert f(x)\vert^2} {\int f^*(x) f(x) dx}=P(x)
    \end{equation*}
    
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{Purtroppo dobbiamo anche lavorare con funzioni che non sono L2}
    \begin{equation*}
      \psi(x)=e^{ikx}
    \end{equation*}
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{prodotto scalare}
    \begin{equation*}
      (f\cdot g)=\int f^*(x) g(x) dx=(g\cdot f)^*
    \end{equation*}
    ma è davvero utile?
    \begin{tikzpicture}
      \tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth]
      \draw[arrow] (0,0) --  (3,0) node[right] {x};
      \draw[arrow] (0,0) --  (0,3) node[above] {y};
      \coordinate (a) at (1,2);
      \coordinate (b) at (-2,1);
      \coordinate (v) at (-1,1);
      \draw[arrow] (0,0) -- (a) node[below, right] {$\hat a$}; 
      \draw[arrow] (0,0) -- (b) node[below, left] {$\hat b$};
      \draw[arrow] (0,0) -- (v) node[above] {$v$};
      \draw[-,red] (v)  -- ($(0,0)!(v)!(a)$) node[right] {$ (\hat a \cdot v )$};
      \draw[-,red] (v)  -- ($(0,0)!(v)!(b)$) node[left, below] {$ (\hat b \cdot v )$};
    \end{tikzpicture}
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{base}
    Una base è un insieme di elementi di uno spazio lineare che può generare tutto lo spazio
    per combinazione lineare.

    \begin{align*}
      [a,b] &=& a [1,0]+b [0,1] \\
      [a,b] &=& \frac{a+b} 2 [1,1]+\frac{a-b} 2 [1, -1]
    \end{align*}

    Una base si dice ortonormale se tutti i suoi elementi $e$ sono fra loro ortogonali e di lunghezza
    unitaria.
    \begin{equation*}
      (e_i,e_j)=\delta_{ij}
    \end{equation*}

    \begin{equation*}
      f(x,y,z)=e^{-|r|}*P(x,y,z)
    \end{equation*}
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{se la base è ortonormale, il prodotto scalare è più utile}
    \begin{align*}
      (e_i, e_j) &=&\delta_{ij} \implies v &=\sum_i a_i e_i=\sum_i (e_i, v) e_i \\
                 && |v\rangle &= \sum |e_i\rangle\langle e_i|v\rangle
    \end{align*}

    \begin{equation*}
      I=\sum_i |e_i\rangle\langle e_i|
    \end{equation*}
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{altri operatori per favore}
    Un operatore è una funzione che ha come dominio e codominio lo stesso spazio.
    \begin{align*}
      O f(x)&=&g(x)\\
      O |\alpha\rangle&=&|\beta\rangle\\
      O [a,b]&=&[c,d]
    \end{align*}

    Ci interessano solo operatori lineari:
    \begin{align*}
      O (a |\alpha\rangle + b | \beta\rangle) &=& a O |\alpha\rangle + b O | \beta\rangle\\
      O \sum_i a_i |\psi_i\rangle &=& \sum_i a_i O |\psi_i\rangle
    \end{align*}
  \end{frame}

  \begin{frame}
    \frametitle{autovalori, autovettori, autostati}
    \begin{equation*}
      % O |\psi\rangle = \underbrace{\lambda}_{\text{autovalore}} \underbrace{|\psi\rangle}_\text{autostato}
      O |\psi\rangle = \lambda |\psi\rangle
    \end{equation*}
    \includegraphics[width=0.8\linewidth]{stern_gerlach_sub}
    \begin{equation*}
      OO|\psi\rangle=O\lambda |\psi\rangle=\lambda^2 |\psi\rangle
    \end{equation*}
    
  \end{frame}

  \begin{frame}
    \frametitle{rappresentazione diagonale}
    Alcuni operatori hanno una base completa di autovettori:
    \begin{equation*}
      O|\psi_i\rangle=\lambda_i |\psi_i\rangle
    \end{equation*}

    In tal caso:
    \begin{align*}
      |\phi\rangle &=&\sum_i a_i |\psi_i\rangle &=& \sum |\psi_i\rangle\langle\psi_i|\phi\rangle\\
      O|\phi\rangle&=&\sum_i a_i O |\psi_i\rangle &=& \sum_i a_i\lambda_i |\psi_i\rangle
    \end{align*}
  \end{frame}
\end{document}