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\title{Introduzione alla meccanica quantistica, l3}
\author{\calligra Fulvio Ciriaco}
\subject{}
\begin{document}
  \pgfdeclareimage[width=1.5cm]{logo}{uniba.png}
  \logo{\pgfuseimage{logo}}
  \begin{frame}{\titlepage}
  \tableofcontents
  \end{frame}
  \begin{frame} %[fragile]
    \frametitle{matematica e fisica quantistica, secondo la scuola di Copenhagen}
    \begin{equation*}
      M |\psi_i\rangle = m_i |\psi_i\rangle
    \end{equation*}\\[1cm]

    \begin{tikzpicture}
      \tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth]
      \node (s) {$|\psi\rangle=a_1|\psi_1\rangle+a_2|\psi_2\rangle+...$};
      \node[rectangle, draw=black, right=0.8cm of s] (M) {M};
      \draw[arrow] (s) -- (M);
      \node[right=1.2cm of M] (s1) {$m_1, |\psi_1\rangle$};
      \node[below=0.5cm of s1.west, anchor=west] (s2) {$m_2, |\psi_2\rangle$};
      \node[below=0.5cm of s2.west, anchor=west] (s3) {$m_3= m_4,  a_3 |\psi_3\rangle + a_4 |\psi_4\rangle$};
      \draw[arrow] (M) -- (s1) node[midway, above]{$\scriptstyle P=|a_1|^2$};
      \draw[arrow] (M.east) -- (s2.west);
      \draw[arrow] (M.east) -- (s3.west) node[pos=0.7, sloped, below]{$\scriptstyle P=|a_3|^2+|a_4|^2$};
    \end{tikzpicture}

  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{aspettative e medie}
    \begin{equation*}
      O |\psi_i\rangle = o_i |\psi_i\rangle
    \end{equation*}

    \begin{equation*}
      |\psi\rangle=\sum_i a_i |\psi_i\rangle
    \end{equation*}

    \begin{equation*}
      \langle O\rangle = \langle \psi | O | \psi \rangle = \sum_i |a_i|^2 o_i = \sum_i P_i o_i
    \end{equation*}

    \begin{equation*}
      \langle x \rangle = \langle \psi | x | \psi \rangle = \int |\psi(x)|^2 x dx
    \end{equation*}
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{lo voglio hermitiano}

    se $O$ è hermitiano: $\langle \phi|O \psi\rangle = \langle \psi| O \phi\rangle ^* =
    \langle \phi | O | \psi\rangle$
    \begin{align*}
      O |\psi_i\rangle &= o_i |\psi_i\rangle \\
                       & o_i \in \mathbb{R}\\
                       & i\neq j \implies \langle \psi_i | \psi_j\rangle= 0
    \end{align*}
    $\implies$ gli autovettori di $O$ costituiscono una valida base ortogonale, o ortonormale.
    \begin{align*}
      |\psi\rangle &=\sum_i a_i |\psi_i\rangle \\
      \langle \psi |O\psi\rangle &= \sum_i \sum_j a_i^* a_j \langle \psi_i|O \psi_j\rangle=
      \sum_i |a_i|^2 o_i
    \end{align*}
  \end{frame}
  % \begin{frame}
  %   \frametitle{proprio hermitiano}
  %   se $O$ è hermitiano:
  %   \begin{align*}
  %     \langle \phi|O|\psi\rangle &=& \langle \psi | O | \phi\rangle ^* \text{dimostrare}\\
  %     \int \phi^*(x) O  \psi(x) dx &=& [ \int \psi^*(x) O \phi(x) dx ]^*
  %   \end{align*}
  %
  % \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{operatori hermitiani e non: esempi}
        
    \begin{align*}
      \hat x &=x\cdot \\
      \int f^*(x) x g(x) dx &= [\int g^*(x) x f(x) dx ]^*
    \end{align*}
    \begin{align*}
      \hat p &= -i\hbar \frac \partial {\partial x} \\
      \int f^*(x) \hat p g(x) dx &= [\int g^*(x) \hat p f(x) dx]^* \\
      &\text{dimostrare, integrando per parti}
    \end{align*}
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{operatori hermitiani e non: esempi}
    $\bigl[\begin{smallmatrix}
      1/2 & 0\\
      0 & -1/2
    \end{smallmatrix}\bigr]$ è una matrice hermitiana, i suoi autovalori sono 1/2 e -1/2.
    I suoi autovettori sono $[1,0]$ e $[0,1]$.
    \begin{align*}
      s_z \alpha &= \frac \hbar 2 \alpha & |\frac 1 2\rangle \equiv \alpha\\
      s_z \beta &= -\frac \hbar 2 \beta& |-\frac 1 2\rangle \equiv \beta
    \end{align*}
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{operatori hermitiani e non: esempi}
    anche $\bigl[\begin{smallmatrix}
      0 & 1/2\\
      1/2 & 0
    \end{smallmatrix}\bigr]$ è una matrice hermitiana, i suoi autovalori sono 1/2 e -1/2.
    I suoi autovettori sono $\frac {\sqrt 2} 2 [1,1]$ e $\frac {\sqrt 2} 2[1,-1]$.
    Verificare.
    \begin{align*}
      s_x \alpha &= \frac \hbar 2 \beta \\
      s_x \beta &=  \frac \hbar 2 \alpha
    \end{align*}
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{esercizio}
    \begin{align*}
      s_y \alpha &=i \frac \hbar 2 \beta\\ 
      s_y \beta &=-i \frac \hbar 2 \alpha\\
    \end{align*}
    scrivetene una rappresentazione matriciale e calcolate gli autovalori ed autovettori.
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{matematica e fisica quantistica, ancora}
    \begin{tikzpicture}
      \tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth]
      \node (H) {H};
      \node[rectangle, draw=black, right=0.8cm of H] (L) {L};
      \draw[arrow] (H) -- (L);
      \node[right=0.8cm of L] (l1) {$l=0$};
      \draw[arrow] (L) -- (l1);
      \node[below=0.5cm of l1.west, anchor=west] (l2) {$l=1$};
      \draw[arrow] (L.east) -- (l2.west);
      \node[below=0.5cm of l2.west, anchor=west] (l3) {$l=2$};
      \draw[arrow] (L.east) -- (l3.west);
      \node[rectangle, draw=black, right=0.8cm of l2] (M) {M};
      \draw[arrow] (l2) -- (M);
      \node[right=0.8cm of M] (m0) {m=-1};
      \draw[arrow] (M) -- (m0);
      \node[below=0.5cm of m0] (m1) {m=0};
      \draw[arrow] (M.east) -- (m1.west);
      \node[below=0.5cm of m1] (m2) {m=1};
      \draw[arrow] (M.east) -- (m2.west);
      \node[rectangle, draw=black, right=0.8cm of m0] (LL) {L};
      \draw[arrow] (m0) -- (LL);
      \node[right=0.8cm of LL] (ll2) {$l=1$};
      \draw[arrow] (LL) -- (ll2);
      
    \end{tikzpicture}

    \begin{tikzpicture}
      \tikzstyle{arrow} = [thick,->,>=stealth]
      \node (e) {$e^-$};
      \node[rectangle, draw=black, right=0.8cm of e] (SZ) {$s_z$};
      \draw[arrow] (e) -- (SZ);
      \node[right=0.8cm of SZ] (a) {$\frac \hbar 2$};
      \draw[arrow] (SZ) -- (a);
      \node[below=0.5cm of a.west, anchor=west] (b) {$-\frac \hbar 2$};
      \draw[arrow] (SZ.east) -- (b.west);
      \node[rectangle, draw=black, right=0.8cm of a] (SX) {$s_x$};
      \draw[arrow] (a) -- (SX);

      \node[right=0.8cm of SX] (ax) {$\frac \hbar 2$};
      \draw[arrow] (SX) -- (ax);
      \node[below=0.5cm of ax.west, anchor=west] (bx) {$-\frac \hbar 2$};
      \draw[arrow] (SX.east) -- (bx.west);

      \node[rectangle, draw=black, right=0.8cm of ax] (SZ2) {$s_z$};
      \draw[arrow] (ax) -- (SZ2);
      \node[right=0.8cm of SZ2] (a2) {$\frac \hbar 2$};
      \draw[arrow] (SZ2) -- (a2);
      \node[below=0.5cm of a2.west, anchor=west] (b2) {$-\frac \hbar 2$};
      \draw[arrow] (SZ2.east) -- (b2.west);
    \end{tikzpicture}

    \begin{align*}
      \hat L \hat M = \hat M \hat L \\
      \hat S_z \hat S_x \neq \hat S_x \hat Sz
    \end{align*}
    
  \end{frame}

  \begin{frame}
    \frametitle{commutazione}
    Commutatore:
    \begin{equation*}
      [A,B]=AB-BA
    \end{equation*}
    Quando il commutatore è una costante chiamiamo gli operatori coniugati.
    \begin{align*}
      x &=x\cdot \\
      p &=-i\hbar \frac \partial {\partial x}\\
      (xp-px)f(x)&=-i\hbar(x\frac \partial {\partial x} - \frac \partial {\partial x} x)f(x)\\
        &=-i\hbar (x\dot f(x)- f(x) - x \dot f(x))= i\hbar f(x)\\
      [x,p]&=xp-px=i\hbar
    \end{align*}
  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{esercizi}
    calcolare il commutatore fra
    $\bigl[\begin{smallmatrix}
      1 & 0\\
      0 & -1
    \end{smallmatrix}\bigr]$
    e
    $\bigl[\begin{smallmatrix}
      0 & 1\\
      1 & 0
    \end{smallmatrix}\bigr]$

    calcolare il commutatore fra $s_z$ e $s_x$

    calcolare il commutatore $[x, p^2]$
  \end{frame}

  \begin{frame}
    \frametitle{dispersione statistica, davvero non possiamo sapere tutto}
    il valore di aspettazione e la dispersione:
    \begin{align*}
      \langle A \rangle=\sum_i A_i p_i && \langle A\rangle=\int A(x)\rho(x) dx\\
      \sigma_A^2=\langle (A-\langle A\rangle)^2\rangle &&
                                                          \sigma_A^2=\int (A(x)-\langle A\rangle)^2
                                                          \rho(x)dx
    \end{align*}

    principio di indeterminazione: se A e B sono due variabili coniugate:
    \begin{equation*}
      \sigma_A\sigma_B \geq \frac \hbar 2
    \end{equation*}

  \end{frame}
  \begin{frame}
    \frametitle{l'esempio più famoso: $x,p$}

    La minima indeterminazione si raggiunge per una funzione d'onda gaussiana:
    \begin{equation*}
      \psi(x)=\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\bigl(\frac {x-\mu}{2\sigma}\bigr)^2}
    \end{equation*}

    esercizio: calcolare $\sigma_x\sigma_p$ per la funzione d'onda gaussiana, sopra introdotta.
    saranno utili le seguenti osservazioni:
  \begin{align*}
      \int_{-\infty}^{\infty} e^{-\alpha {x^2}} &= \sqrt {\frac \pi \alpha}\\
      \int_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-\alpha x^2} &=
      -\int_{-\infty}^{\infty} \frac {\partial}{\partial\alpha} e^{-\alpha x^2}=
      -\frac {\partial}{\partial\alpha} \sqrt{\frac \pi \alpha}=\frac 1 {2\alpha} \sqrt {\frac\pi \alpha}
    \end{align*} 
  \end{frame}
  % \begin{frame}
  %   \frametitle{indeterminazione sul momento per un'onda stazionaria in una scatola}
  % un'onda stazionaria, costretta nell'intervallo $[-\frac L 2, \frac L 2]$ è descritta 
  % dalla funzione d'onda
  % \begin{equation*}
  %   \psi(x)=\sqrt{\frac 2 L} cos(\frac{n\pi x}L)
  % \end{equation*}
  % calcoliamo l'indeterminazione sul momento:
  % \begin{align*}
  %   \langle p^2 \rangle &= \int_{-L/2}^{L/2} cos(\frac{n\pi x}L) 
  %   (p-\langle p\rangle)^2 cos(\frac{n\pi x}L)dx \\
  %                       &= -\hbar^2 \int_{-L/2}^{L/2}  cos(\frac{n\pi x}L)
  %                       \frac {d^2}{dx^2} cos(\frac{n\pi x}L)dx
  %                       &= \left(\frac {\pi n \hbar} L\right)^2
  % \end{align*}
  % \end{frame}
\end{document}