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\newcommand{\expt}[2] {e^{#2 i\frac{\epsilon_#1 t}\hbar}}
\newcommand{\exptd}[3] {e^{#3 i\frac{(\epsilon_#1-\epsilon_#2) t}\hbar}}

\title{Introduzione alla meccanica quantistica, l4}
\author{\calligra Fulvio Ciriaco}
\subject{}
\begin{document}
  \pgfdeclareimage[width=1.5cm]{logo}{uniba.png}
  \logo{\pgfuseimage{logo}}
  \begin{frame}{\titlepage}
  \tableofcontents
  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{dinamica temporale}
    \begin{equation*}
      -i\hbar \frac {\partial \psi(x,t)}{\partial t} = H \psi(x,t)
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
      H \phi_n(x) = \epsilon_n \phi_n(x)
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
      \psi(x,t)=\sum_n a_n(t) \phi_n(x)
    \end{equation*}

    \begin{equation*}
      -i\hbar \sum_n \frac {\partial a_n(t) \phi_n(x)}{\partial t} =
      \sum_n H a_n(t) \phi_n(x)
    \end{equation*}
  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{soluzione, hamiltoniana indipendente dal tempo}
    \begin{equation*}
      -i\hbar \sum_n \frac { \partial a_n(t) \phi_n(x)}{\partial t} =
      \sum_n H a_n(t) \phi_n(x)
    \end{equation*}
    \begin{align*}
        x=y &\iff \forall f: f(x)=f(y)\\
        \psi=\xi &\iff \forall \phi: \langle \phi  | \psi\rangle = \langle \phi | \xi \rangle
    \end{align*}

    \begin{equation*}
      -i\hbar \langle \phi_k | \sum_n \frac { \partial a_n(t) \phi_n(x)}{\partial t}\rangle =
      \langle \phi_k | \sum_n a_n(t) \epsilon_n \phi_n(x) \rangle
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
      -i\hbar \dot a_k = \epsilon_k a_k
    \end{equation*}
  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{stato puro $\equiv$ stato stazionario}
    \begin{align*}
      -i\hbar \dot a_k &= \epsilon_k a_k\\
      a_k(t)&=a_k(t=0)e^{i\frac{\epsilon_k t}{\hbar}}
    \end{align*}

    consideriamo uno stato puro:
    \begin{equation*}
      \psi(t=0)=\phi_k \implies \psi(x,t)=\phi_k e^{i\frac{\epsilon_k t}{\hbar}}
    \end{equation*}
    \begin{equation*}
      \langle O \rangle = \langle \phi_k e^{i\frac{\epsilon_k t}{\hbar}} | O |
      \phi_k e^{i\frac{\epsilon_k t}{\hbar}} \rangle= \langle \phi_k | O | \phi_k \rangle
    \end{equation*}
  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{vera dinamica}
    \begin{equation*}
      \psi(t=0)=a_1\phi_1 + a_2\phi_2 \implies \psi(t)=a_1\expt{1}{}\phi_1+a_2\expt{2}{}\phi_2
    \end{equation*}
    \begin{align*}
      \langle x \rangle (t) &=\langle \psi(t) | x| \psi(t)\rangle\\
                            &=\langle a_1 \expt{1}{}\phi_1 + a_2 \expt{2}{}\phi_2 |
                              x | \langle a_1 \expt{1}{}\phi_1 + a_2 \expt{2}{}\phi_2 \rangle\\
                            &=|a_1|^2 \langle \phi_1 | x |\phi_1\rangle +
                              |a_2|^2 \langle\phi_2 | x |\phi_2\rangle \\
                            & + \underbrace{a_1^*a_2\exptd{2}{1}{} \langle \phi_1|x\phi_2\rangle +
                              cc}_{2 |a_1^*a_2 \langle\phi_1|x|\phi_2\rangle|
                              cos(\frac {(\epsilon_1-\epsilon_2)t}\hbar + \alpha_0)} 
    \end{align*}
  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{dinamica a due stati}
    In una miscela di due stati l'attesa di un qualunque osservabile $O$ oscilla con frequenza
    \begin{equation*}
      \omega=\frac {\epsilon_1-\epsilon_2} \hbar
    \end{equation*}
    la stessa frequenza di un fotone entrante di energia $\epsilon_1-\epsilon_2$.
  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{vera dinamica}
    Non possiamo vedere come varia la funzione d'onda.
    \begin{equation*}
      \frac{\partial \langle O \rangle}{\partial t}=
      \frac{\partial \langle \psi(t) | O | \psi(t)\rangle}{\partial t}=
      \langle \frac{\partial \psi(t)}{\partial t}| O |\psi(t)\rangle +
      \langle \psi(t) | O |\frac{\partial \psi(t)}{\partial t}\rangle
    \end{equation*}

    \begin{equation*}
      \frac {\partial \psi(t)}{\partial t}=
      -\frac i \hbar H \psi(t) \implies
      \frac{\partial \langle O \rangle}{\partial t} =
      \langle \psi(t) | - \frac i \hbar [O, H] | \psi(t) \rangle
    \end{equation*}

    \begin{equation*}
      \frac {\partial O}{\partial t}=-\frac i \hbar [O, H]
    \end{equation*}
  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{e il principio di corrispondenza?}
    Consideriamo la funzione d'onda per il moto di una particella: $\psi(x,t)$,
    come varia il valore atteso della posizione?
    \begin{equation*}
      H=\frac {p^2}{2m} + V(x)
    \end{equation*}

    \begin{equation*}
      \frac {\partial x}{\partial t}=- \frac i \hbar [x, H]=-\frac i {2m \hbar} [x, p^2]
    \end{equation*}

    \begin{align*}
      [x, p^2]&=xp^2-p^2x= xp^2-pxp+pxp-p^2x\\
              &=(xp-px)p + p (xp-px)=2i\hbar p\\
      \frac {\partial x}{\partial t} &= \frac p m
    \end{align*}
  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{$F=ma$}
    \begin{equation*}
      H=\frac {p^2}{2m} + V(x)
    \end{equation*}

    \begin{equation*}
      \frac {\partial p}{\partial t}=-\frac i \hbar [p, H]=-\frac i {\hbar} [p, V(x)]
    \end{equation*}

    \begin{align*}
      [p, V(x)]&=pV-Vp\\
      (pV-Vp)\psi(x)&=\psi(x)pV+Vp\psi(x)-Vp\psi(x)=-i\hbar \frac {\partial V}{\partial x}\psi(x)\\
      \frac {\partial p}{\partial t}&=-\nabla V
                                      \implies \frac {\partial \langle \psi | p | \psi\rangle}
                                      {\partial t} = \langle \psi | \nabla V | \psi \rangle
    \end{align*}
  \end{frame}
  \begin{frame} 
    \frametitle{il principio di indeterminazione e la dinamica temporale}
    Abbiamo visto che negli stati stazionari, il valore di aspettazione degli osservabili non
    cambia nel tempo. Nella semplice dinamica a due stati, abbiamo visto che la velocità di
    variazione degli osservabili è proporzionale alla differenza di energia tra i due livelli.
    \begin{equation*}
      \sigma_E \frac {\sigma_O} {|\frac {\partial O} {\partial t}|}  \geq \frac \hbar 2
    \end{equation*}

    nell'equazione vediamo legati l'indeterminazione sull'energia e il tempo di variazione
    di un osservabile (tempo di vita).

    Questa equazione viene spesso barbaramente riscritta nella forma:
    \begin{equation*}
      \Delta E \Delta t \geq \frac \hbar 2
    \end{equation*}
    nella cui forma passa sotto il nome di principio di indeterminazione tra energia e tempo.
  \end{frame}
\end{document}